Teknokiper.com - Pembahasan contoh soal tentang fungsi atau pemetaan untuk tingkat sekolah menengah pertama. Contoh soal ini disusun dalam bentuk pilihan berganda dan dirancang sedemikian berdasarkan beeberapa subtopik yang dibahas dalam kajian fungsi untuk tingkat menengah pertama seperti relasi, pengertian fungsi atau pemetaan, cara menyatakan fungsi, banyak fungsi dari dua himpunan, rumus fungsi, korespondensi satu-satu, fungsi kuadrat, garfik fungsi kuadrat atau grafik parabola, menyusun fungsi kuadrat berdasarkan grafik, karakteristik grafik fungsi kuadrat, dan hubungan garis terhadap kurav parabola.
A. {(1, 2), (3, 4), (1, 5)}
B. {(1, 2), (2, 4), (3, 5)}
C. {(1, 0), (2, 0), (2, 4)}
D. {(1, 0), (2, 0), (1, 2)}
Pembahasan :
Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota dengan tepat satu anggota. Fungsi dari A ke B oleh f adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Relasi dalam bentuk himpunan pasangan berurutan yang merupakan fungsi adalah relasi yang tidak ada anggota domainnya (yaitu anggota di sebelah kiri) yang ditulis ulang.
Mari kita periksa keempat relasi tersebut:
A). {(1, 2), (3, 4), (1, 5)} : 1 ditulis ulang → bukan fungsi
B). {(1, 2), (2, 4), (3, 5)} : tidak ada domain diulang → fungsi
C). {(1, 0), (2, 0), (2, 4)} : 2 ditulis ulang → bukan fungsi
D). {(1, 0), (2, 0), (1, 2)} : 1 ditulis ulang → bukan fungsi
Jadi relasi yang termasuk fungsi adalah {(1, 2), (2, 4), (3, 5)}.
Contoh 2 : Fungsi atau Pemetaan
Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x2 + 2. Jika peta dari n adalah 18, maka nilai dari n sama dengan ...
A. n = 3
B. n = 4
C. n = 5
D. n = 6
Pembahasan :
Langkah pertama, substitusikan n ke fungsi f sebagai berikut:
⇒ f(x) = x2 + 2
⇒ f(n) = n2 + 2
Karena perta dari n adalah 18, maka:
⇒ f(n) = 18
⇒ n2 + 2 = 18
⇒ n2 = 18 - 2
⇒ n2 = 16
⇒ n = ±4
A. 64
B. 48
C. 36
D. 16
Pembahasan :
Langka pertama kita roster dulu anggota tiap himpunan agar tahu berapa banyak anggotanya.
⇒ P = {faktor dari 12}
⇒ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
⇒ n(P) = 6
Bilangan prima :
⇒ Q = {bilangan prima antara 10 dan 15}
⇒ Q = {11, 13}
⇒ n(Q) = 2
Banyak pemetaan dari P ke Q yang mungkin adalah:
⇒ n(Q)n(P) = 26
⇒ n(Q)n(P) = 64
Contoh 4 : Korespondensi Satu-satu
Diketahui A = {l, a, u, t} dan B = {b, i, r, u}. Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan A k himpunan B adalah ....
A. 24 cara
B. 16 cara
C. 10 cara
D. 8 cara
Pembahasan :
Kebetulan banyak anggota himpunan A dan B sama, yaitu sama-sama 4.
⇒ A = {l, a, u, t} → n(A) = 4
⇒ B = {b, i, r, u} → n(B) = 4
Karena banyak anggotanya sama, maka banyak korespondenasi satu-satu yang mungkin atara himpunan A dan B adalah:
⇒ Banyak cara = n!
⇒ Banyak cara = 4!
⇒ Banyak cara = 4 x 3 x 2 x 1
⇒ Banyak cara = 24
A. f(6) = 20
B. f(6) = 24
C. f(6) = 30
D. f(6) = 42
Pembahasan :
Cara pertama:
⇒ f(x + 4) = 3x + 24
⇒ f(x) = 3(x - 4) + 24
⇒ f(x) = 3x - 12 + 24
⇒ f(x) = 3x + 12
⇒ f(6) = 3(6) + 12
⇒ f(6) = 18 + 12
⇒ f(6) = 30
Cara kedua:
⇒ f(x + 4) = 3x + 24
⇒ f(6) = f(2 + 4) → x = 2
⇒ f(6) = 3(2) + 24
⇒ f(6) = 6 + 24
⇒ f(6) = 30
Contoh 6 : Fungsi Kuadrat
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = 2(x + 1)2 + 7. Nilai 2a + b - c adalah ...
A. 2a + b - c = -1
B. 2a + b - c = 1
C. 2a + b - c = 17
D. 2a + b - c = 4
Pembahasan :
Langkah pertama ubah bentuk fungsi ke bentuk umum:
⇒ f(x) = 2(x + 1)2 + 7
⇒ f(x) = 2(x2 + 2x + 1) + 7
⇒ f(x) = 2x2 + 4x + 2 + 7
⇒ f(x) = 2x2 + 4x + 9
Dari f(x) = 2x2 + 4x + 9
Dik : a = 2, b = 4, c = 9
Maka, Nilai 2a + b - c adalah:
⇒ 2a + b - c = 2(2) + 4 - 9
⇒ 2a + b - c = 4 + 4 - 9
⇒ 2a + b - c = -1
A. f(x) = 1
B. f(x) = 2
C. f(x) = 3
D. f(x) = 4
Pembahasan :
Dari fungsi f(x) = x2 + bx + 6
Dik : a = 1, b = b, c = 6
Berdasarkan rumus sumbu simetri:
⇒ xs = -b/2a
⇒ -2 = -b/2
⇒ -b = -4
⇒ b = 4
Karena b = 4, maka fungsinya menjadi:
⇒ f(x) = x2 + bx + 6
⇒ f(x) = x2 + 4x + 6
Nilai minimum f(x) dicapai pada xs = -2. Maka substitusikan nilai x = -2 pada fungsi yang diperoleh di atas:
⇒ f(x) = x2 + 4x + 6
⇒ f(x) = (-2)2 + 4(-2) + 6
⇒ f(x) = 4 - 8 + 6
⇒ f(x) = 2
Jadi, nilai minimum f(x) adalah 2.
Contoh 8 : Menentukan Nilai Konstanta Fungsi Kuadrat
Jika kurva parabola y = x2 + bx + c memiliki titik balik (1, 2), maka nilai c - b sama dengan ...
A. c - b = 1
B. c - b = -1
C. c - b = 2
D. c - b = 5
Pembahasan :
Dari y = x2 + bx + c diketahui a = 1
Koordinat titik balik adalah (xs, ye) dengan xs merupakan sumbu simetri dan ye adalah nilai ekstrem. Karena koordinat titik balik kurva (1, 2) berarti sumbu simetri kurva tersebut adalah xs = 1.
Sumbu simetri kurva parabola:
⇒ xs = -b/2a
⇒ xs = -b/2
⇒ 1 = -b/2
⇒ b = -2
Selanjutnya substitusikan nilai b = 2 ke fungsi sehingga diperoleh:
⇒ y = x2 + bx + c
⇒ y = x2 + (-2)x + c
⇒ y = x2 - 2x + c
Langkah terakhir, substitusikan titik (1, 2) ke fungsi kuadrat yang baru dibentuk di atas:
⇒ y = x2 - 2x + c
⇒ 2 = 12 - 2(1) + c
⇒ 2 = 1 - 2 + c
⇒ 2 = -1 + c
⇒ c = 2 + 1
⇒ c = 3
Jadi, nilai c - b adalah:
⇒ c - b = 3 - (-2)
⇒ c - b = 3 + 2
⇒ c - b = 5
Rumus fungsi f dari grafik parabola tersebut adalah ....
A. f(x) = ¼x2 + 4
B. f(x) = ¼x2 - 4
C. f(x) = x2 - 4
D. f(x) = x2 + 16
Pembahasan :
Pada gambar dapat dilihat bahwa kurva tersebut memotong titik (-4, 0) dan (4, 0). Untuk kurva yang melalui dua titik, dapat digunakan rumus berikut:
⇒ f(x) = a(x - x1)(x - x2)
⇒ f(x) = a{x - (-4)}(x - 4)
⇒ f(x) = a(x + 4)(x - 4)
⇒ f(x) = a(x2 - 16)
Selanjutnya, untuk menentukan nilai a, kita dapat menggunakan titik ketiga yang dilalui kurva, yaitu titik (0, -4). Substitusikan nilai x = 0 dan y = -4 pada f(x):
⇒ f(x) = a(x2 - 16)
⇒ y = a(02 - 16)
⇒ -4 = -16a
⇒ a = -4/-16
⇒ a = ¼
Dengan demikian, rumus fungsi f untuk kurva pada gambar tersebut adalah:
⇒ f(x) = a(x2 - 16)
⇒ f(x) = ¼(x2 - 16)
⇒ f(x) = ¼x2 - 4
Contoh 10 : Soal Cerita Berbentuk Fungsi Kuadrat
Sebuah benda dilempar vertikal ke atas mengunakan sebuah mesin khusus. Jika ketinggian benda setelah t detik dinyatakan dengan rumus h(t) = (40t - 2t2), maka ketinggian maksimum yang dapat dicaai benda tersebut adalah ....
A. 100 m
B. 125 m
C. 150 m
D. 200 m
Pembahasan :
Dari fungsi h(t) = (40t - 2t2) :
Dik : a = -2, b = 40, c = 0
Waktu yang dibutuhkan agar tiba di titik tertinggi adalah:
⇒ t = -b/2a
⇒ t = -40/2(-2)
⇒ t = -40/-4
⇒ t = 10 detik
Selanjutnya substitusi nilai t = 10 pada rumus fungsinya:
⇒ h(10) = (40t - 2t2)
⇒ h(10) = {40(10) - 2(10)2}
⇒ h(10) = (400 - 200)
⇒ h(10) = 200 m
Jadi, ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda tersebut adalah 200 meter.
Contoh 1 : Pengertian Fungsi
Dari keempat relasi berikut yang termasuk fungsi adalah ....A. {(1, 2), (3, 4), (1, 5)}
B. {(1, 2), (2, 4), (3, 5)}
C. {(1, 0), (2, 0), (2, 4)}
D. {(1, 0), (2, 0), (1, 2)}
Pembahasan :
Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota dengan tepat satu anggota. Fungsi dari A ke B oleh f adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Relasi dalam bentuk himpunan pasangan berurutan yang merupakan fungsi adalah relasi yang tidak ada anggota domainnya (yaitu anggota di sebelah kiri) yang ditulis ulang.
Mari kita periksa keempat relasi tersebut:
A). {(1, 2), (3, 4), (1, 5)} : 1 ditulis ulang → bukan fungsi
B). {(1, 2), (2, 4), (3, 5)} : tidak ada domain diulang → fungsi
C). {(1, 0), (2, 0), (2, 4)} : 2 ditulis ulang → bukan fungsi
D). {(1, 0), (2, 0), (1, 2)} : 1 ditulis ulang → bukan fungsi
Jadi relasi yang termasuk fungsi adalah {(1, 2), (2, 4), (3, 5)}.
Jawaban : B
Contoh 2 : Fungsi atau Pemetaan
Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x2 + 2. Jika peta dari n adalah 18, maka nilai dari n sama dengan ...
A. n = 3
B. n = 4
C. n = 5
D. n = 6
Pembahasan :
Langkah pertama, substitusikan n ke fungsi f sebagai berikut:
⇒ f(x) = x2 + 2
⇒ f(n) = n2 + 2
Karena perta dari n adalah 18, maka:
⇒ f(n) = 18
⇒ n2 + 2 = 18
⇒ n2 = 18 - 2
⇒ n2 = 16
⇒ n = ±4
Jawaban : B
Contoh 3 : Menentukan Banyak Pemetaan
Diketahui P = {faktor dari 12} dan Q = {bilangan prima antara 10 dan 15}. Banyak pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B adalah ....A. 64
B. 48
C. 36
D. 16
Pembahasan :
Langka pertama kita roster dulu anggota tiap himpunan agar tahu berapa banyak anggotanya.
⇒ P = {faktor dari 12}
⇒ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
⇒ n(P) = 6
Bilangan prima :
⇒ Q = {bilangan prima antara 10 dan 15}
⇒ Q = {11, 13}
⇒ n(Q) = 2
Banyak pemetaan dari P ke Q yang mungkin adalah:
⇒ n(Q)n(P) = 26
⇒ n(Q)n(P) = 64
Jawaban : A
Contoh 4 : Korespondensi Satu-satu
Diketahui A = {l, a, u, t} dan B = {b, i, r, u}. Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan A k himpunan B adalah ....
A. 24 cara
B. 16 cara
C. 10 cara
D. 8 cara
Pembahasan :
Kebetulan banyak anggota himpunan A dan B sama, yaitu sama-sama 4.
⇒ A = {l, a, u, t} → n(A) = 4
⇒ B = {b, i, r, u} → n(B) = 4
Karena banyak anggotanya sama, maka banyak korespondenasi satu-satu yang mungkin atara himpunan A dan B adalah:
⇒ Banyak cara = n!
⇒ Banyak cara = 4!
⇒ Banyak cara = 4 x 3 x 2 x 1
⇒ Banyak cara = 24
Jawaban : A
Contoh 5 : Menentukan Nilai Fungsi
Diketahui f(x + 4) = 3x + 24. Nilai dari f(6) sama dengan ....A. f(6) = 20
B. f(6) = 24
C. f(6) = 30
D. f(6) = 42
Pembahasan :
Cara pertama:
⇒ f(x + 4) = 3x + 24
⇒ f(x) = 3(x - 4) + 24
⇒ f(x) = 3x - 12 + 24
⇒ f(x) = 3x + 12
⇒ f(6) = 3(6) + 12
⇒ f(6) = 18 + 12
⇒ f(6) = 30
Cara kedua:
⇒ f(x + 4) = 3x + 24
⇒ f(6) = f(2 + 4) → x = 2
⇒ f(6) = 3(2) + 24
⇒ f(6) = 6 + 24
⇒ f(6) = 30
Jawaban : C
Contoh 6 : Fungsi Kuadrat
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = 2(x + 1)2 + 7. Nilai 2a + b - c adalah ...
A. 2a + b - c = -1
B. 2a + b - c = 1
C. 2a + b - c = 17
D. 2a + b - c = 4
Pembahasan :
Langkah pertama ubah bentuk fungsi ke bentuk umum:
⇒ f(x) = 2(x + 1)2 + 7
⇒ f(x) = 2(x2 + 2x + 1) + 7
⇒ f(x) = 2x2 + 4x + 2 + 7
⇒ f(x) = 2x2 + 4x + 9
Dari f(x) = 2x2 + 4x + 9
Dik : a = 2, b = 4, c = 9
Maka, Nilai 2a + b - c adalah:
⇒ 2a + b - c = 2(2) + 4 - 9
⇒ 2a + b - c = 4 + 4 - 9
⇒ 2a + b - c = -1
Jawaban : A
Contoh 7 : Nilai Minimum Kurva Parabola
Jika sumbu simetri dari kurva parabola f(x) = x2 + bx + 6 adalah xs = -2, maka nilai minimum f(x) adalah ....A. f(x) = 1
B. f(x) = 2
C. f(x) = 3
D. f(x) = 4
Pembahasan :
Dari fungsi f(x) = x2 + bx + 6
Dik : a = 1, b = b, c = 6
Berdasarkan rumus sumbu simetri:
⇒ xs = -b/2a
⇒ -2 = -b/2
⇒ -b = -4
⇒ b = 4
Karena b = 4, maka fungsinya menjadi:
⇒ f(x) = x2 + bx + 6
⇒ f(x) = x2 + 4x + 6
Nilai minimum f(x) dicapai pada xs = -2. Maka substitusikan nilai x = -2 pada fungsi yang diperoleh di atas:
⇒ f(x) = x2 + 4x + 6
⇒ f(x) = (-2)2 + 4(-2) + 6
⇒ f(x) = 4 - 8 + 6
⇒ f(x) = 2
Jadi, nilai minimum f(x) adalah 2.
Jawaban : B
Contoh 8 : Menentukan Nilai Konstanta Fungsi Kuadrat
Jika kurva parabola y = x2 + bx + c memiliki titik balik (1, 2), maka nilai c - b sama dengan ...
A. c - b = 1
B. c - b = -1
C. c - b = 2
D. c - b = 5
Pembahasan :
Dari y = x2 + bx + c diketahui a = 1
Koordinat titik balik adalah (xs, ye) dengan xs merupakan sumbu simetri dan ye adalah nilai ekstrem. Karena koordinat titik balik kurva (1, 2) berarti sumbu simetri kurva tersebut adalah xs = 1.
Sumbu simetri kurva parabola:
⇒ xs = -b/2a
⇒ xs = -b/2
⇒ 1 = -b/2
⇒ b = -2
Selanjutnya substitusikan nilai b = 2 ke fungsi sehingga diperoleh:
⇒ y = x2 + bx + c
⇒ y = x2 + (-2)x + c
⇒ y = x2 - 2x + c
Langkah terakhir, substitusikan titik (1, 2) ke fungsi kuadrat yang baru dibentuk di atas:
⇒ y = x2 - 2x + c
⇒ 2 = 12 - 2(1) + c
⇒ 2 = 1 - 2 + c
⇒ 2 = -1 + c
⇒ c = 2 + 1
⇒ c = 3
Jadi, nilai c - b adalah:
⇒ c - b = 3 - (-2)
⇒ c - b = 3 + 2
⇒ c - b = 5
Jawaban : D
Contoh 9 : Menentukan Rumus Fungsi Berdasarkan Grafik
Perhatikan gambar berikut ini!Rumus fungsi f dari grafik parabola tersebut adalah ....
A. f(x) = ¼x2 + 4
B. f(x) = ¼x2 - 4
C. f(x) = x2 - 4
D. f(x) = x2 + 16
Pembahasan :
Pada gambar dapat dilihat bahwa kurva tersebut memotong titik (-4, 0) dan (4, 0). Untuk kurva yang melalui dua titik, dapat digunakan rumus berikut:
⇒ f(x) = a(x - x1)(x - x2)
⇒ f(x) = a{x - (-4)}(x - 4)
⇒ f(x) = a(x + 4)(x - 4)
⇒ f(x) = a(x2 - 16)
Selanjutnya, untuk menentukan nilai a, kita dapat menggunakan titik ketiga yang dilalui kurva, yaitu titik (0, -4). Substitusikan nilai x = 0 dan y = -4 pada f(x):
⇒ f(x) = a(x2 - 16)
⇒ y = a(02 - 16)
⇒ -4 = -16a
⇒ a = -4/-16
⇒ a = ¼
Dengan demikian, rumus fungsi f untuk kurva pada gambar tersebut adalah:
⇒ f(x) = a(x2 - 16)
⇒ f(x) = ¼(x2 - 16)
⇒ f(x) = ¼x2 - 4
Jawaban : B
Contoh 10 : Soal Cerita Berbentuk Fungsi Kuadrat
Sebuah benda dilempar vertikal ke atas mengunakan sebuah mesin khusus. Jika ketinggian benda setelah t detik dinyatakan dengan rumus h(t) = (40t - 2t2), maka ketinggian maksimum yang dapat dicaai benda tersebut adalah ....
A. 100 m
B. 125 m
C. 150 m
D. 200 m
Pembahasan :
Dari fungsi h(t) = (40t - 2t2) :
Dik : a = -2, b = 40, c = 0
Waktu yang dibutuhkan agar tiba di titik tertinggi adalah:
⇒ t = -b/2a
⇒ t = -40/2(-2)
⇒ t = -40/-4
⇒ t = 10 detik
Selanjutnya substitusi nilai t = 10 pada rumus fungsinya:
⇒ h(10) = (40t - 2t2)
⇒ h(10) = {40(10) - 2(10)2}
⇒ h(10) = (400 - 200)
⇒ h(10) = 200 m
Jadi, ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda tersebut adalah 200 meter.
Jawaban : D
0 comments :
Post a Comment